怎樣求最大公約數

時間 2021-09-15 10:00:22

1樓:

如果有一個自然數a能被自然數b整除,則稱a為b的倍數,b為a的約數。幾個自然數公有的約數,叫做這幾個自然數的公約數。公約數中最大的一個公約數,稱為這幾個自然數的最大公約數。

這個有幾種方法,下面是兩種不錯的方法:

(1)求差判定法.

如果兩個數相差不大,可以用大數減去小數,所得的差與小數的最大公約數就是原來兩個數的最大公約數.例如:求78和60的最大公約數.78-60=18,18和60的最大公約數是6,所以78和60的最大公約數是6.

如果兩個數相差較大,可以用大數減去小數的若干倍,一直減到差比小數小為止,差和小數的最大公約數就是原來兩數的最大公約數.例如:求92和16的最大公約數.92-16=76,76-16=60,60-16=44,44-16=28,28-16=12,12和16的最大公約數是4,所以92和16的最大公約數就是4.

(2)輾轉相除法.

當兩個數都較大時,採用輾轉相除法比較方便.其方法是:

以小數除大數,如果能整除,那麼小數就是所求的最大公約數.否則就用餘數來除剛才的除數;再用這新除法的餘數去除剛才的餘數.依此類推,直到一個除法能夠整除,這時作為除數的數就是所求的最大公約數.

例如:求4453和5767的最大公約數時,可作如下除法.

5767÷4453=1餘1314

4453÷1314=3餘511

1314÷511=2餘292

511÷292=1餘219

292÷219=1餘73

219÷73=3

於是得知,5767和4453的最大公約數是73.

輾轉相除法適用比較廣,比短除法要好得多,它能保證求出任意兩個數的最大公約數.

2樓:寶寶

一、自然數的最大公約數的定義可以擴充套件到分數。一組分數的最大公約數一定是分數,而這組分數分別除以它們的最大公約數應得整數。求一組分數的最大公約數的方法是:

1、先將各個分數化為假分數;

2、求出各個分數的分母的最小公倍數a;

3、求出各個分數的分子的最大公約數b;

4、 a/b即為所求。

如:求5/6、 2又1 /7 這兩個分數的最大公約數。

這兩個分數化成假分數後是:(5/6,15/7)分母的最小公倍數是:(6,7) =42;

分子的最大公約數是:(5,15)=5 ;

所以,這四個分數的最大公約數是:5/42

二、最大公約數:

最大公因數,也稱最大公約數、最大公因子,指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a,b的最大公約數記為(a,b),同樣的,a,b,c的最大公約數記為(a,b,c),多個整數的最大公約數也有同樣的記號。

求最大公約數有多種方法,常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。

3樓:匿名使用者

質因數分解法:把每個數分別分解質因數,再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最大公約數。

短除法:短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。

最大公因數,也稱最大公約數、最大公因子,指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a,b的最大公約數記為(a,b),同樣的,a,b,c的最大公約數記為(a,b,c),多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法,常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。

與最大公約數相對應的概念是最小公倍數,a,b的最小公倍數記為[a,b]。

如果數a能被數b整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關係,不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數,2是某數的約數,而不能孤立地說16是倍數,2是約數。

"倍"與"倍數"是不同的兩個概念,"倍"是指兩個數相除的商,它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內,相對於"約數"而言的一個數字的概念,表示的是能被某一個自然數整除的數。

幾個整數中公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。例如:12、16的公約數有1、2、4,其中最大的一個是4,4是12與16的最大公約數,一般記為(12,16)=4。

12、15、18的最大公約數是3,記為(12,15,18)=3。

幾個自然數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個自然數,叫做這幾個數的最小公倍數。例如:4的倍數有4、8、12、16,……,6的倍數有6、12、18、24,……,4和6的公倍數有12、24,……,其中最小的是12,一般記為[4,6]=12。

12、15、18的最小公倍數是180。記為[12,15,18]=180。若干個互質數的最小公倍數為它們的乘積的絕對值。

4樓:楊琴

您好,在求最大公約數時,一般先用最小的公約數去除,直到得數為互質數時為止,再將所有的公約數相乘,積就是幾個數的最大公約數。

舉個例子:

以12和16為例,兩者先都除以2,得6,8。

6和8還可以繼續除以2,得到3,4。

3,4互為質數,不可再除。

所以12,和16的最大公約數就等於2乘2,得4。

最大公因數,也稱最大 公約數、最大公 因子,指兩個或多個 整數共有 約數中最大的一個。 a, b的最大公約數記為(a,b),同樣的,a,b,c的最大 公約數記為(a,b,c),多個 整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種 方法,常見的有 質因數分解法、 短除法、 輾轉相除法、 更相減損法。

與最大公約數相對應的概念是 最小公倍數,a,b的 最小公倍數記為[a,b]。

5樓:又因遇見你

最普遍的介紹:

最大公因數,也稱最大公約數、最大公因子,指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。

a,b的最大公約數記為(a,b),同樣的,a,b,c的最大公約數記為(a,b,c),多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法,常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數相對應的概念是最小公倍數,a,b的最小公倍數記為[a,b]。

【拓展資料】

一、基本概念及舉例說明:

1、如果數a能被數b整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關係,不能單獨存在。

舉例:只能說16是某數的倍數,2是某數的約數,而不能孤立地說16是倍數,2是約數。

2、“倍”與“倍數”是不同的兩個概念,“倍”是指兩個數相除的商,它可以是整數、小數或者分數。“倍數”只是在數的整除的範圍內,相對於“約數”而言的一個數字的概念,表示的是能被某一個自然數整除的數。

3、幾個整數中公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。

舉例:12、16的公約數有1、2、4,其中最大的一個是4,4是12與16的最大公約數,一般記為(12,16)=4。12、15、18的最大公約數是3,記為(12,15,18)=3。

4、幾個自然數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個自然數,叫做這幾個數的最小公倍數。

舉例:4的倍數有4、8、12、16,……,6的倍數有6、12、18、24,……,4和6的公倍數有12、24,……,其中最小的是12,一般記為[4,6]=12。12、15、18的最小公倍數是180。

記為[12,15,18]=180。若干個互質數的最小公倍數為它們的乘積的絕對值。

二、最大公約數的常見求法

1、質因數分解法

思路:把每個數分別分解質因數,再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最大公約數。

舉例:假設我們求24和60的最大公約數。

第一步:分解24和60。

24=2x2x2x3

60=2x3x2x5

第二步:24和60的最大公約數=24和60共有的公因子相乘,即2x2x3=12。

2、短除法

思路:短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。

短除法的本質就是質因數分解法,只是將質因數分解用短除符號來進行。

舉例:12的因數有:1、2、3、4、6、12。

18的因數有:1、2、3、6、9、18。

12與18的公因數有:1、2、3、6。

12與18的最大公因數是6。

3、更相減損法

思路:第一步:任意給定兩個正整數;判斷它們是否都是偶數。若是,則用2約簡;若不是則執行第二步。

第二步:以較大的數減較小的數,接著把所得的差與較小的數比較,並以大數減小數。繼續這個操作,直到所得的減數和差相等為止。

則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。

舉例:用更相減損術求98與63的最大公約數。

由於63不是偶數,把98和63以大數減小數,並輾轉相減:

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以,98和63的最大公約數等於7。

4、輾轉相除法

用較小數除較大數,再用出現的餘數(第一餘數)去除除數,再用出現的餘數(第二餘數)去除第一餘數,如此反覆,直到最後餘數是0為止。如果是求兩個數的最大公約數,那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。

舉例:求(319,377):

∵ 319÷377=0(餘319)

∴(319,377)=(377,319);

∵ 377÷319=1(餘58)

∴(377,319)=(319,58);

∵ 319÷58=5(餘29)

∴ (319,58)=(58,29);

∵ 58÷29=2(餘0)

∴ (58,29)= 29;

∴ (319,377)=29。

6樓:匿名使用者

大公約數 將它們分解質因數,找出其中相同的質因數,再將它們相乘,就得到了最大公約數,如果兩數的質因數中,沒有一個是相同的,那麼它們的最大公約數就是1. 比如(56,42) 56=7×2×2×2 42=7×2×3 其中7,2是相同的,那麼它們的最大公約數就是2×7=14 ***附加:最小公倍數 依照上述方法得到最大公約數後,再乘以其它所有剩下來的數.

比如[56,42] 56=7×2×2×2 42=7×2×3 其中7,2是相同的,它們的最大公約數就是14,剩下來的有2,2,3,將它們相乘,再乘以14,得到14×2×2×3=168,它們的最小公倍數就是168.如果兩數的最大公約數是1,那麼它們的最小公倍數就是它們的乘積. (分解質因數:

將一個數分解成幾個質數的積的形式) (質因數:除了本身和1之外沒有其它約數的數,比如2,3,5,7,11等等,注:1不是質因數) 求兩數的最大公約數和最小公倍數,你做的題目多了,速度就自然而然變快了,熟能生巧嘛~~~~

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